Question

4．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax²-bx（a、b为常数）．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当函数g（x）在x=2处取得极值-2．求函数g（x）的解析式；
（3）当$a=\frac{1}{2}$时，设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，运用店携手方程即可得到切线方程；
（2）求得g（x）的导数，由题意可得g（2）=-2，g′（2）=0，解方程即可得到所求解析式；
（3）若函数h（x）在定义域上存在单调减区间依题存在x＞0使h′（x）=$\frac{{x}^{2}-bx+1}{x}$（x＞0）．h′（x）＜0（x＞0）即存在x＞0使x²-bx+1＜0，运用参数分离，求得右边的最小值，即可得到所求范围．

解答 解：（1）由f（x）=lnx（x＞0），可得f′（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0），
∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y-f（1）=f′（1）（x-1），
即y=x-1，
所求切线方程为y=x-1；                                
（2）∵又g（x）=ax²-bx可得g′（x）=2ax-b，
且g（x）在x=2处取得极值-2．
∴$\left\{\begin{array}{l}{g^/}（2）=0\\ g（2）=-2\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}4a-b=0\\ 4a-2b=-2\end{array}\right.$解得$a=\frac{1}{2}$，b=2．
所求g（x）=$\frac{1}{2}{x^2}-2x$（x∈R）．                                 
（3）∵$h（x）=f（x）+g（x）=lnx+\frac{1}{2}{x^2}-bx$，h′（x）=$\frac{{x}^{2}-bx+1}{x}$（x＞0）．
依题存在x＞0使h′（x）=$\frac{{x}^{2}-bx+1}{x}$（x＞0）．
h′（x）＜0（x＞0）即存在x＞0使x²-bx+1＜0，
∵不等式x²-bx+1＜0等价于$b＞x+\frac{1}{x}$（*）
令$λ（x）=x+\frac{1}{x}（x＞0）$，∵${λ^/}（x）=1-\frac{1}{x^2}=\frac{（x+1）（x-1）}{x^2}（x＞0）$．
∴λ（x）在（0，1）上递减，在[1，+∞）上递增，
故$λ（x）=x+\frac{1}{x}∈[2$，+∞），
∵存在x＞0，不等式（*）成立，
∴b＞2．所求b∈（2，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查函数的单调性的运用以及存在性问题，属于中档题．