Question

3．如图，在△ABC中，B（-1，0），C（1，0），CD、BE分别是△ABC的两条中线且相交于点G，且|CD|+|BE|=6．
（Ⅰ）求点G的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）直线l：y=x-1与轨迹Γ相交于M、N两点，P为轨迹Γ的动点，求△PMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设BE与CD交于G点，则G为△ABC的重心，$BG=\frac{2}{3}BE，CG=\frac{2}{3}CD$，根据椭圆定理为椭圆方程．
（Ⅱ）设直线y=x+b，当直线与椭圆相切时，切点即为P，此时三角形面积最大$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=x+b\end{array}\right.，7{x^2}+8bx+4{b^2}-12=0$，因为相切，故△=0．列式求得面积最大值，并求得该值．

解答 解：（Ⅰ）设BE与CD交于G点，则G为△ABC的重心，$BG=\frac{2}{3}BE，CG=\frac{2}{3}CD$…（2分）
由于|CD|+|BE|=6，则BG+CG=4，根据椭圆的定义，故G是以B，C为焦点，长轴长为4的椭圆（除x轴上点外），$a=2，c=1，b=\sqrt{3}$…（4分）
即G满足的轨迹方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1（y≠0）$…（6分）
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=x-1\end{array}\right.$得到7x²-8x-8=0，得到${x_1}+{x_2}=\frac{8}{7}，{x_1}{x_2}=-\frac{8}{7}$…（8分）
$MN=\sqrt{1+1}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{24}{7}$…（10分）
设直线y=x+b，当直线与椭圆相切时，切点即为P，此时三角形面积最大$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=x+b\end{array}\right.，7{x^2}+8bx+4{b^2}-12=0$，因为相切，故△=0
64b²-28（4b²-12）=0，b²=7，$b=\sqrt{7}，b=-\sqrt{7}$（舍）  …（12分）$x=-\frac{{4\sqrt{7}}}{7}，y=\frac{{3\sqrt{7}}}{7}，P（-\frac{{4\sqrt{7}}}{7}，\frac{{3\sqrt{7}}}{7}）$
 h=|$\frac{-\frac{4\sqrt{7}}{7}-\frac{3\sqrt{7}}{7}-1}{\sqrt{2}}$|=$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$…（14分）
${S_{max}}=\frac{1}{2}MN•h=\frac{1}{2}•\frac{24}{7}•\frac{{\sqrt{14}+\sqrt{2}}}{2}=\frac{{6（\sqrt{14}+\sqrt{2}）}}{7}$…（15分）
备注：也可以用两平行线距离公式d=$\frac{|\sqrt{7}+1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$

点评 本题主要考查了轨迹方程的求解方法和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题．