Question

11．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）它的离心率为$\frac{1}{2}$，一个焦点是（-1，0），过直线x=4上一点引椭圆E的两条切线，切点分别是A、B．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若在椭圆E$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的点（x₀，y₀）处的切线方程是$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1．求证：直线AB恒过定点C，并求出定点C的坐标；
（Ⅲ）求证：|AC|+|BC|=$\frac{4}{3}$|AC|•|BC|（点C为直线AB恒过的定点）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）它的离心率为$\frac{1}{2}$，一个焦点是（-1，0），计算a，b，即得结论；
（Ⅱ）通过分别将点M的坐标（4，t）代入切线方程，利用两点确定唯一的一条直线，即得结论；
（III）通过将直线AB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理计算$\frac{1}{|AC|}$+$\frac{1}{|BC|}$即可．

解答 （I）解：椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点是（-1，0），故c=1，
又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，所以a=2，b=$\sqrt{3}$，
所以所求的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．…（4分）
（II）证明：设切点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l上一点M的坐标（4，t），
则切线方程分别为$\frac{{x}_{1}x}{4}+\frac{{y}_{1}y}{3}=1$，$\frac{{x}_{2}x}{4}+\frac{{y}_{2}y}{3}=1$，
又两切线均过点M，可得点A，B的坐标都适合方程x+$\frac{t}{3}y$=1，故直线AB的方程是x+$\frac{t}{3}y$=1，显然直线x+$\frac{t}{3}y$=1恒过点（1，0），故直线AB恒过定点C（1，0）．…（9分）
（III）证明：将直线AB的方程x+$\frac{t}{3}y$=1，代入椭圆方程，整理得（$\frac{{t}^{2}}{3}$+4）y²-2ty-9=0，
所以韦达定理可得：y₁+y₂=$\frac{6t}{12+{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{27}{12+{t}^{2}}$，
不妨设y₁＞0，y₂＜0，
|AC|=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{\sqrt{{t}^{2}+9}}{3}$y₁，
同理|BC|=-$\frac{\sqrt{{t}^{2}+9}}{3}$y₂，…（12分）
所以$\frac{1}{|AC|}$+$\frac{1}{|BC|}$=$\frac{3}{\sqrt{{t}^{2}+9}}$（$\frac{1}{{y}_{1}}$-$\frac{1}{{y}_{2}}$）=$\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+9}}•\frac{\sqrt{144{t}^{2}+9×144}}{9}$=$\frac{4}{3}$，
即：|AC|+|BC|=$\frac{4}{3}$|AC|•|BC|，…（14分）

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．