Question

2．已知圆O：x²+y²=4，动直线l₁：x-ky+2k=0和l₂：kx+y-4k=0（k∈R）．
（1）试判断直线l₁和圆O的位置关系，并说明理由；
（2）已知直线l₂与圆O相交，直线l₁被圆O截得的弦的中点为M，求动点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）动直线l₁经过定点A（0，2），而点A在圆O上，由此可得直线l₁和圆O的位置关系．
（2）由l₂和圆O相交，可得弦心距小于半径，求得k的范围．设直线l₁被圆O截得的弦的中点为M（x，y），则线段OM和直线l₁垂直，它们的斜率之积等于-1，
即 $\frac{y}{x}$•$\frac{1}{k}$=-1，化简可得结果．

解答 解：（1）动直线l₁：x-ky+2k=0，即 x-k（y-2）=0，经过定点A（0，2），
而点A在圆O：x²+y²=4上，故直线l₁：x-ky+2k=0和圆O至少有一个交点，故直线l₁和圆O相交或相切．
（2）由l₂：kx+y-4k=0和圆O：x²+y²=4相交，可得弦心距$\frac{|4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜2，求得k²＜$\frac{1}{3}$，即-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
设直线l₁被圆O截得的弦的中点为M（x，y），则线段OM和直线l₁垂直，∴$\frac{y}{x}$•$\frac{1}{k}$=-1，
即 y=-kx（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$ ），表示一条线段．

点评 本题主要考查直线经过定点问题，直线和圆的位置关系，圆的弦的性质，属于基础题．