Question

16．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，且过点（0，1），其中A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$．
（1）求函数的解析式．
（2）若函数f（x）的图象向左平移m个单位所对应的函数h（x）是奇函数，求满足条件的最小正实数m．
（3）设函数g（x）=f（x）+a+1，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，若函数g（x）恰有两个零点，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象可得T=（$\frac{11π}{12}$+$\frac{π}{12}$）解得ω，图象经过（-$\frac{π}{12}$，0），0=Asin（2×-$\frac{π}{12}$+φ），|φ|＜$\frac{π}{2}$，解得φ，图象经过（0，1），1=Asin（2×0+$\frac{π}{6}$），可得A，从而可求函数的解析式．
（2）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得y=sin（2x+2m+$\frac{π}{6}$）为奇函数，可得2m+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈z，由此求得m的最小值．
（3）根据正弦函数的单调性，得到当t=sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1）时，方程g（x）=0有两个零点，即2t+a+1=0，t∈[$\frac{1}{2}$，1），由此建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．

解答 解：（1）由函数的图象可得T=（$\frac{11π}{12}$+$\frac{π}{12}$）=π，T=$\frac{2π}{ω}$，解得ω=2．
图象经过（-$\frac{π}{12}$，0），0=Asin（2×-$\frac{π}{12}$+φ），|φ|＜$\frac{π}{2}$，解得φ=$\frac{π}{6}$，
图象经过（0，1），1=Asin（2×0+$\frac{π}{6}$），可解得A=2，
故f（x）的解析式为y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）把函数f（x）的图象向左平移m个单位所对应的函数的解析式为：
y=sin[2（x+m）+$\frac{π}{6}$]=sin（2x+2m+$\frac{π}{6}$），
再根据y=sin（2x+2m+$\frac{π}{6}$）为奇函数，
可得2m+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈z，
故m的最小值为$\frac{5π}{12}$．
（3）g（x）=f（x）+a+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1，
∵当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，且x≠$\frac{π}{6}$时，存在两个自变量x对应同一个sinx（2x+$\frac{π}{6}$），
即当t=sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1）时，方程g（x）=0有两个零点，
∵g（x）=f（x）+a+1在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有两个零点，即2t+a+1=0，t∈[$\frac{1}{2}$，1），
∴t=$\frac{-a-1}{2}$∈[$\frac{1}{2}$，1），
解之得a∈（-3，-2]．

点评 本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，正弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．