Question

6．已知数列{a_n}满足，a_n+1+a_n=2n．
（1）当a₁=$\frac{1}{2}$时，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）若对任意n∈N^*，都有$\frac{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n+1}}^{2}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$≥4成立，求a₁的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当n为偶数时，S=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n），当n是奇数时，S=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n），然后由等差数列的前n项和得答案；
（2）由递推式得出a_n+2-a_n=2，可判断奇数项和偶数项分别构成等差数列，公差为2，当n为奇数时，a_n=a₁+n-1，a_n+1=n+1-a₁，得出${{a}_{1}}^{2}-2{a}_{1}≥-{n}^{2}+4n-1$，构造函数求最值求解；当n为偶数时，a_n=n-a₁，a_n+1=n+a₁，得出${{a}_{1}}^{2}≥-{n}^{2}+4n$，构造函数求最值求解，最后对a₁的范围取并集得答案．

解答 解：（1）由a_n+1+a_n=2n，
当n为奇数时，S_n=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n）
=$\frac{1}{2}+2[2+4+…+（n-1）]$=$\frac{1}{2}+2×\frac{（2+n-1）×\frac{n-1}{2}}{2}=\frac{{n}^{2}}{2}$；
当n为偶数时，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）
=2[1+3+…+（n-1）]=2×$\frac{（1+n-1）×\frac{n-1}{2}}{2}$=$\frac{{n}^{2}-n}{2}$．
∴${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}}{2}，n为奇数}\\{\frac{{n}^{2}-n}{2}，n为偶数}\end{array}\right.$；
（2）由a_n+1+a_n=2n，得a_n+2+a_n+1=2（n+1），
∴a_n+2-a_n=2，则数列{a_n}的奇数项和偶数项分别构成以2为公差的等差数列．
当n为奇数时，a_n=n-1+a₁，a_n+1=n+1-a₁，
∵$\frac{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n+1}}^{2}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$≥4，∴${{a}_{1}}^{2}-2{a}_{1}≥-{n}^{2}+4n-1$．
令f（n）=-n²+4n-1，∴f（n）_max=3，
由${{a}_{1}}^{2}-2{a}_{1}≥3$，解得a₁≤-1或a₁≥3；
当n为偶数时，a_n=n-a₁，a_n+1=n+a₁，
∵$\frac{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n+1}}^{2}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$≥4，∴${{a}_{1}}^{2}≥-{n}^{2}+4n$．
令g（n）=-n²+4n，∴g（n）_max=4，
由${{a}_{1}}^{2}≥4$，解得a₁≤-2或a₁≥2．
综上，a₁的范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）．

点评 本题综合考查数列与函数，等差数列的通项公式，考查分类讨论思想、整体思想的运用，属于难题．