Question

3．已知△ABC中，AB边上的中线|CM|=2，若动点P满足$\overrightarrow{AP}$=sin²θ$\overrightarrow{AM}$+cos²θ$\overrightarrow{AC}$（θ∈R），给出下列命题：①对?θ∈R，?λ∈R，使得$\overrightarrow{CP}$=λ$\overrightarrow{CM}$；②当θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）时，存在唯一的θ，使$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）；③动点P在运动的过程中，（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$的取值范围为[-2，0]；④若|$\overrightarrow{AB}$|=2，动点P在运动的过程中，|$\overrightarrow{AP}$|²+|$\overrightarrow{BP}$|²+|$\overrightarrow{CP}$|²的最小值为$\frac{8}{3}$．以上命题中，其中正确命题的序号为①③．

Answer 1

分析 由给出的等式结合共线向量基本定理可得C、P、M共线，由此判断①正确；
由给出的向量等式可知P为△ABC的重心，求出$si{n}^{2}θ=\frac{2}{3}$，结合θ范围可得满足条件的θ有两个，判断②错误；
由$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PM}$，得（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PC}$=2|$\overrightarrow{PM}$||$\overrightarrow{PC}$|cosπ=-2|$\overrightarrow{PM}$||$\overrightarrow{PC}$|，然后利用基本不等式求得（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$的取值范围判断③正确；
由已知求出|$\overrightarrow{AP}$|²+|$\overrightarrow{BP}$|²+|$\overrightarrow{CP}$|²的最小值说明④错误．

解答 解：∵动点P满足$\overrightarrow{AP}$=sin²θ$\overrightarrow{AM}$+cos²θ$\overrightarrow{AC}$（θ∈R），且sin²θ+cos²θ=1，又∵cos²θ∈[0，1]，
∴P在线段CM上，则对?θ∈R，?λ∈R，使得$\overrightarrow{CP}$=λ$\overrightarrow{CM}$正确，命题①正确；
∵CM为AB边上的中线，若$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），则P为△ABC的重心，此时$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CM}$
=$\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}）=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，∴$si{n}^{2}θ=\frac{2}{3}$，
∵θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），∴$θ=±arcsin\frac{\sqrt{6}}{3}$，则命题②错误；
由判断①的过程知，P、M、C三点共线，即点P在CM上，
而$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PM}$，故（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PC}$=2|$\overrightarrow{PM}$||$\overrightarrow{PC}$|cosπ=-2|$\overrightarrow{PM}$||$\overrightarrow{PC}$|，
∵|$\overrightarrow{PM}$|+|$\overrightarrow{PC}$|=CM=2，由基本不等式可得：
|$\overrightarrow{PM}$||$\overrightarrow{PC}$|≤$（\frac{|\overrightarrow{PM}|+|\overrightarrow{PC}|}{2}）^{2}=1$．
∴-2$|\overrightarrow{PM}|•|\overrightarrow{PC}|≥-2$，当P与M或C重合时（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$最大为0，命题③正确；
设$\overrightarrow{MP}=λ\overrightarrow{MC}$（0≤λ≤1），
则|$\overrightarrow{AP}$|²+|$\overrightarrow{BP}$|²+|$\overrightarrow{CP}$|² =$（λ\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}）^{2}+（λ\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}）^{2}+[（λ-1）\overrightarrow{MC}]^{2}$
=${λ}^{2}|\overrightarrow{MC}{|}^{2}-2λ\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{MA}+|\overrightarrow{MA}{|}^{2}$$+{λ}^{2}|\overrightarrow{MC}{|}^{2}-2λ\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{MB}+|\overrightarrow{MB}{|}^{2}$$+（λ-1）^{2}|\overrightarrow{MC}{|}^{2}$
=4λ²+1+4λ²+1+4（λ-1）²=12λ²-8λ+6．
当$λ=\frac{1}{3}$时，|$\overrightarrow{AP}$|²+|$\overrightarrow{BP}$|²+|$\overrightarrow{CP}$|² 有最小值为$12×\frac{1}{9}-\frac{8}{3}+6=\frac{14}{3}$，故命题④错误．
∴正确的命题是①③．
故答案为：①③．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式和二次函数的性质等知识，属于中档题．