Question

8．已知正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁+a₂+a₃=12，且a₂²=2a₁•（a₃+1）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b₁+b₂+…+b_n=n•a_n，求b_n．

Answer 1

分析 （1）由已知列方程组求得等差数列的首项和公差，代入通项公式得答案；
（2）把（1）中求得的通项公式代入b₁+b₂+…+b_n=n•a_n，取n=n-1得另一递推式，作差后求得b_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₁+a₂+a₃=12，且a₂²=2a₁•（a₃+1），得
$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=12}\\{（{a}_{1}+d）^{2}=2{a}_{1}（{a}_{1}+2d+1）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=0}\\{d=4}\end{array}\right.$（舍），
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2；
（2）由b₁+b₂+…+b_n=n•a_n，得
b₁+b₂+…+b_n=n•（3n-2）=3n²-2n，
b₁+b₂+…+b_n-1=3（n-1）²-2（n-1）（n≥2），
两式作差得：b_n=6n-5（n≥2），
由b₁=1适合上式，
∴b_n=6n-5．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查由数列的前n项和求数列通项，是中档题．