Question

3．一个数列的第n项a_n=[a₁+（n-1）d]q^n-1（q≠0），即a_n是一个等差数列的第n项与一个等比数列的第n的乘积，这样的数列叫做“等差×等比”数列．
（1）试判断数列a_n=35-2n和b_n=（-2）ⁿ是否为“等差×等比”数列，如果是“等差×等比”数列，求出a₁，d，q或b₁，d，q的值，如果不是“等差×等比”数列，请说明理由；
（2）若{c_n}是“等差×等比”数列，且c₁=2，c₂=-$\frac{5}{2}$，c₃=2，求c_n；
（3）若d_n=（35-2n）（-2）^n-1，求d_nd_n+1的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用新定义和等差数列和等比数列的通项，即可判断和得到a₁，d，q或b₁，d，q的值；
（2）设c_n=[a₁+（n-1）d]q^n-1（q≠0），运用代入法，解方程即可得到通项；
（3）令t_n=d_nd_n+1=（35-2n）（-2）^n-1•（33-2n）（-2）ⁿ=（2n-33）（2n-35）（-2）^2n-1，求得t_n+1=（2n-33）（2n-31）（-2）²ⁿ⁺¹，作差比较即可得到最大值．

解答 解：（1）数列a_n=35-2n是a₁=33，d=-2的等差数列，
（-2）ⁿ是b₁=-2，q=-2的等比数列，
可构成“等差×等比”数列，即有a₁=33，d=-2，q=-2或b₁=-2，d=q=-2；
（2）设c_n=[a₁+（n-1）d]q^n-1（q≠0），
由c₁=2，c₂=-$\frac{5}{2}$，c₃=2，
可得a₁=2，（a₁+d）q=-$\frac{5}{2}$，（a₁+2d）q²=2，
解得a₁=2，d=-$\frac{3}{4}$，q=-2，或a₁=2，d=3，q=-$\frac{1}{2}$，
即有c_n=$\frac{11-3n}{4}$•（-2）^n-1或（3n-1）•（-$\frac{1}{2}$）^n-1；
（3）d_n=（35-2n）（-2）^n-1，
则t_n=d_nd_n+1=（35-2n）（-2）^n-1•（33-2n）（-2）ⁿ
=（2n-33）（2n-35）（-2）^2n-1，
t_n+1=（2n-33）（2n-31）（-2）²ⁿ⁺¹，
由t_n+1-t_n=（2n-33）（-2）^2n-1（6n-89），
当n=1，2，…，14时有t₁₅＜t₁₄＜…＜t₂＜t₁．
当n=15，16有t₁₇＞t₁₆＞t₁₅，
当n=17，18，…，有t₁₇＞t₁₈＞t₁₉＞…
由t₁=31×33×（-2）=-2046，
t₁₇=1×（-1）×（-2）³³＜-2046，
故d_nd_n+1的最大值为-2046．

点评 本题考查新定义的理解和运用，主要考查等差数列和等比数列的通项，同时考查数列的单调性及运用，考查运算能力，属于中档题．