Question

12．在三角形ABC中，D为底边BC的中点，M为AD上的任一点，过M点任作一直线l分别交边AB、AC与E，F（E，F不与端点重合），且$\overrightarrow{AE}=m\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AF}=n\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AD}$，则m，n，k满足的关系是（　　）

• A． $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{2}{k}$
• B． $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{k}{2}$
• C． $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{k}$
• D． m+n=k

Answer 1

分析 由题意，$\overrightarrow{AM}$=k$\overrightarrow{AD}$=$\frac{k}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overline{AC}$）=$\frac{k}{2m}$•$\overrightarrow{AE}$+$\frac{k}{2n}$•$\overrightarrow{AF}$，利用E，M，F三点共线，可得结论．

解答 解：由题意，$\overrightarrow{AM}$=k$\overrightarrow{AD}$=$\frac{k}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overline{AC}$）=$\frac{k}{2m}$•$\overrightarrow{AE}$+$\frac{k}{2n}$•$\overrightarrow{AF}$，
∵E，M，F三点共线，
∴$\frac{k}{2m}$+$\frac{k}{2n}$=1，
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{2}{k}$，
故选：A．

点评 本题考查向量在几何中的应用，考查三点共线结论的运用，考查学生的计算能力，正确替换是关键．