Question

6．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＞b，已知cosC=$\frac{4}{5}$，c=3$\sqrt{2}$，sinAcos²$\frac{B}{2}$+sinBcos²$\frac{A}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$sinC．
（1）求a和b的值；
（2）求cos（B-C）的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式以及正弦定理以及定理求解即可．
（2）利用余弦定理求出cosB，通过两角和与差的余弦函数求解即可．

解答 解：（1）sinAcos²$\frac{B}{2}$+sinBcos²$\frac{A}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$sinC，
可得sinA$\frac{cosB+1}{2}$+sinB$\frac{cosA+1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$sinC，
sinC+sinA+sinB=$（\sqrt{2}+1）$sinC．
由正弦定理可得：a+b=$\sqrt{2}$c，c=3$\sqrt{2}$，
可得a+b=6．
由余弦定理可得：18=a²+b²-2abcosC=a²+b²-$\frac{8}{5}$ab．
解得：a=1，b=5，或a=5，b=1；
（2）a=1时，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1+18-25}{2×1×3\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sinC=$\frac{3}{5}$．
cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC=$-\frac{\sqrt{2}}{10}$．
a=5时，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{25+18-1}{2×5×3\sqrt{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，sinB=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，sinC=$\frac{3}{5}$．
cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC=$\frac{31\sqrt{2}}{50}$．

点评 本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．