Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{24}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，直线l：$\frac{x}{12}$+$\frac{y}{8}$=1．
（I）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆C与直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）已知P是l上一动点，射线OP交椭圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|•|OP|=|OR|²．当点P在l上移动时，求点Q在直角坐标系下的轨迹方程．

Answer 1

分析 （I）将x=ρcosθ，y=ρsinθ分别代入椭圆方程和直线方程，化简整理即可得到极坐标方程；
（II）设Q（ρ，θ），由|OQ|•|OP|=|OR|²结合（Ⅰ）即可得到所求直角坐标方程．

解答 解：（I）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{24}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，直线l：$\frac{x}{12}$+$\frac{y}{8}$=1，
将x=ρcosθ，y=ρsinθ分别代入上式，化简可得，
C：${ρ^2}=\frac{48}{{2{{cos}^2}θ+3{{sin}^2}θ}}$，l：$ρ=\frac{24}{2cosθ+3sinθ}$；
（II）设Q（ρ，θ），
由|OQ|•|OP|=|OR|²
结合（Ⅰ）可得，ρ•$\frac{24}{2cosθ+3sinθ}$=$\frac{48}{2co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ}$，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得
2x²+3y²-4x-6y=0．

点评 本题考查极坐标和直角坐标的互化，考查运算求解的能力，属于中档题．