Question

19．定长为4的线段MN的两端点在抛物线y²=x上移动，设点P为线段MN的中点，则P到y轴距离的最小值为$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 先设出A，B的坐标，根据抛物线方程可求得其准线方程，进而可表示出M到y轴距离，根据抛物线的定义结合两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号判断出$\frac{\left|MF\right|+\left|NF\right|}{2}$的最小值即可

解答 解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
抛物y²=x的线准线x=-$\frac{1}{4}$，
P到y轴距离S=|$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$|=$\frac{{x}_{1}+\frac{1}{4}+{x}_{2}+\frac{1}{4}}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{\left|MF\right|+\left|NF\right|}{2}$-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{\left|MF\right|+\left|NF\right|}{2}$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{\left|MN\right|}{2}$-$\frac{1}{4}$=2-$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{4}$，
当且仅当M，N过F点时取等号，
故答案为：$\frac{7}{4}$．

点评 本小题主要考查抛物线的简单性质、利用不等式求最值等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题