Question

14．如果直线l₁：2x-y+2=0，l₂：8x-y-4=0与x轴正半轴，y轴正半轴围成的四边形封闭区域（含边界）中的点，使函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，求a+b的最小值（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 0

Answer 1

分析 由题意列出不等式组，画出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，代入目标函数可得ab=4，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：设P（x，y）为封闭区域中的任意点，
则P（x，y）满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{8x-y+4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，
可行域如图所示：
目标函数的最优解为B（1，4），
依题意将B（1，4）代入z=abx+y（a＞0，b＞0）得最大值8，解得ab=4，
由基本不等得：$a+b≥2\sqrt{ab}=4$（当且仅当a=b=2时，等号成立），
∴a+b的最小值为4．
故选：A．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．