Question

（2012•红桥区一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，其对称中心O到直线bx+ay-ab=0的距离为

21

3

，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A，B是椭圆C上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（x₀，0），求x₀的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用离心率计算公式、点到直线的距离公式、及a²=b²+c²即可得出；
（II）对直线AB的斜率分类讨论，当直线AB的斜率存在且不为0时，设斜率为k，设直线AB的方程为y=kx+m．与椭圆方程联立得到△＞0即根与系数的关系，再利用中点坐标公式即可得出线段AB的中点，进而得出垂直平分线的方程，即可得出．

解答：解：（I）由题意可得

e= c a = 2 2 ab a2+b2 = 21 3 a2=b2+c2

，解得

a2=7 b2=c2= 7 2

．
∴椭圆的方程为

x2

7

+

2y2

7

=1．
（II）①当AB∥x轴或与x轴重合时，此时k_AB=0，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（0，0）；
②当AB⊥x轴时，此时线段AB的垂直平分线为x轴，此时不符合题意，应舍去；
③当直线AB的斜率存在且不为0时，设斜率为k，设直线AB的方程为y=kx+m．
联立

y=kx+m x2+2y2=7

化为（1+2k²）x²+4kmx+2m²-7=0，
∵△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-7）＞0，化为

m2

1+2k2

＜

7

2

（*）．
∴x1+x2=-

4km

1+2k2

．
设线段AB的中点为M（x_M，y_M）．则x_M=

x1+x2

2

=-

2km

1+2k2

，y_M=kx_M+m=

m

1+2k2

．
线段AB的垂直平分线的方程为y=-

1

k

(x-x0)，
把点M的坐标代入可得

m

1+2k2

=-

1

k

(-

2km

1+2k2

-x0)，
化为x0=

-mk

1+2k2

，变形为m=-

x0(1+2k2)

k

，代入（*）得

x

2 0

＜

7k2

2+4k2

．
令f（k）=

7k2

2+4k2

=

7

2 k2 +4

，则0＜f(k)＜

7

4

．
∴

x

2 0

＜

7

4

．
∴-

7

2

＜x0＜

7

2

．
综上可知：x₀的取值范围是(-

7

2

，

7

2

)．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、中点坐标公式、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等是解题的关键．