Question

【题目】设p：f（x）＝1+ax,在（0，2]上f（x）≥0恒成立,q函数g（x）＝ax+2lnx在其定义域上存在极值．

(1)若p为真命题,求实数a的取值范围；

(2)如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)[，+∞）(2)（﹣∞，）∪[0，+∞）

【解析】

(1)进行常变量分离,求出反比例函数在区间（0，2]的取值范围,最后可以求出实数a的取值范围；

(2)求出当q为真命题时, 实数a的取值范围,然后根据或命题的真假的定义,分类讨论求出实数a的取值范围．

(1)若p为真命题，则a，x∈（0，2]恒成立，所以a≥（）max，当x∈（0，2]时

,即a的取值范围为[，+∞）；

(2)若q为真命题：函数g（x）＝ax+2lnx在其定义域上存在极值；

由于g′（x）＝a,x＞0

若a≥0,g'（x）＞0，g（x）在定义域单调递增，在其定义域上不存在极值，不符合题意；

若a＜0,则g′（x）＝a0，则x，

当0＜x时,g'（x）＞0，g（x）单调递增；

当x时,g'（x）＜0，g（x）单调递减；

∴x时,g（x）在x时有极大值

所以，若q为真命题，则a＜0.

因为“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,所以命题p与q一真一假.

①p真q假时,则，解得a≥0，

②p假q真时,则，解得a；

综上所述:a的取值范围为（﹣∞，）∪[0，+∞）．