Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性.

（Ⅱ）若时，存在两个正实数满足，求证：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

（I）对 求导，得，令，对，，进行分类讨论，得的单调性即可；

（II）存在两个正数m，n使得成立，转化为，令对求导，得在上单调递减，在上单调递增；所以在取得最小值为 ，得出，计算即可得出结论.

（I）依题意，可知

对于函数，

当，即时，此时函数在上单调递增.

当，即时，函数有两个零点，且，其中

若，则，当时，；当时，

当时，，

若，则，当时，；当时，.

综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

（II） 当a=4时，存在两个正数m，n使得成立，则，所以，

即

令

则

当时，，所以函数在上单调递减；

当时，，所以函数在上单调递增；

所以函数在取得最小值，最小值为.

所以，即，解得或

因为，所以.