Question

（2012•宝鸡模拟）设函数f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=1，a=1，c=

3

，求b值．

Answer 1

分析：（1）把已知函数整理为y=Asin（ωx+Φ）的形式，运用公式求周期；
（2）把若f（A）=1代入整理后的函数式，求出角A的值，然后运用余弦定理或正弦定理均可求解，用正弦定理求解时注意解的情况．

解答：解：（1）f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+1-cosx=

3

2

sinx-

1

2

cosx+1=sin(x-

π

6

)+1，∴f（x）的最小正周期T=2π．
（2）由f（A）=1得sin(A-

π

6

)=0，
∵-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，∴A-

π

6

=0，故A=

π

6

．
解法1：由余弦定理a²=b²+c²-2bcosA，
得b²-2b+2=0，解得b=1或2．
解法2：由正弦定理

a

sinA

=

B

sinB

，得

1

1 2

=

3

sinC

，所以sinC=

3

2

，则C=

π

3

或

2π

3

．
当C=

π

3

，B=

π

2

，从而b=

b2+c2

=2．
当C=

2π

3

时，B=

π

6

，又A=

π

6

，从而a=b=1．
故b的值为1或2．

点评：本题考查了三角函数的周期的求法，同时考查了解三角问题，求解与三角函数有关的周期问题，往往要把解析式化为y=Asin（ωx+Φ）的形式；求解三角形，关键是给出两边及一边的对角的解的取舍．