精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知二次函数f(x)满足条件:f(0)=1,f(x+1)=f(x)+2x
(1)求f(x);
(2)若直线y=a与函数y=f(|x|)有4个交点,求实数a的取值范围.
分析:(1)利用待定系数法求二次函数的解析式,由f(0)=1,f(x+1)=f(x)+2x即可确定f(x).
(2)作出函数y=f(|x|)的图象,利用图象确定实数a的取值范围.
解答:解:(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c,(a≠0),
∵f(0)=1,∴f(0)=c=1,解得c=1,
∴f(x)=ax2+bx+1,(a≠0),
∵f(x+1)=f(x)+2x
∴a(x+1)2+b(x+1)+1=ax2+bx+1+2x,
即ax2+2ax+1+bx+b+1=ax2+bx+1+2x,
∴2a=2,b+1=0,解得a=1,b=-1,
∴f(x)=x2-x+1.
(2)y=f(|x|)=x2-|x|+1=
x2-x+1,x≥0
x2+x+1,x<0

作出函数y=f(|x|)的图象如图:
当x=0时,y=f(0)=1,
当x>时,y=x2-x+1=(x-
1
2
)
2
+
3
4

∴当x=
1
2
时,函数y有最小值,
∴要使直线y=a与函数y=f(|x|)有4个交点,
3
4
<a<1

即实数a的取值范围是(
3
4
,1
).
点评:本题主要考查利用待定系数法求二次函数的解析式,以及利用数形结合的方法求函数交点问题,综合性较强.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知二次函数f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函数的图象经过原点,且满足f(2)=0,求实数m的值.
(Ⅱ)若函数在区间[2,+∞)上为增函数,求m的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(0,1),且与x轴有唯一的交点(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表达式;
(Ⅱ)设函数F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],记此函数的最小值为g(k),求g(k)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数q的取值范围;
(2)若记区间[a,b]的长度为b-a.问:是否存在常数t(t≥0),当x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间D,且D的长度为12-t?请对你所得的结论给出证明.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•广州一模)已知二次函数f(x)=x2+ax+m+1,关于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集为(m,m+1),其中m为非零常数.设g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值时,函数φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在极值点,并求出极值点;
(3)若m=1,且x>0,求证:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(1)已知二次函数f(x)的图象与x轴的两交点为(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函数f(x)的图象的顶点是(-1,2),且经过原点,求f(x)的解析式.

查看答案和解析>>

同步练习册答案