Question

正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，
(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求平面BDC与平面DEF的夹角的余弦值；
(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论。

Answer 1

解：(1)如图，在△ABC中，E、F分别是AC、BC的中点， ∴EF∥AB， 又AB平面DEF，EF平面DEF， ∴AB∥平面DEF。
(2)以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴， 建立空间直角坐标系， 则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，2，0）， ， 平面CDF的法向量为， 设平面EDF的法向量为， 则， 取， ， 所以平面BDC与平面DEF夹角的余弦值为。
(3)在平面坐标系xDy中， 直线BC的方程为， 设， ∴ ， 所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE。