Question

若实数α，β，γ满足cos²α+cos²β+cos²γ=2，则sinβ•(sinα+

2

2

sinγ)的最大值是（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  2

  4

• C．

  3

  4

• D．

  6

  4

Answer 1

分析：先利用同角三角函数基本关系式的平方关系，可得sin²α+sin²β+sin²γ=1，再利用均值不等式a²+b²≥2ab，得sinαsinβ≤

1

2

cos²γ，

2

2

sinβsinγ≤

2

4

cos²α，故sinβ•(sinα+

2

2

sinγ)≤

1

2

cos²γ+

2

4

cos²α≤

6

4

解答：解：依题意sin²α+sin²β+sin²γ=1
sin²α+sin²β=cos²γ≥2sinαsinβ
sin^2γ+sin²β=cos²α≥2sinβsinγ
∴sinβ•(sinα+

2

2

sinγ)≤

1

2

cos²γ+

2

4

cos²α≤

1 4 + 1 8

=

6

4

故选D

点评：本题考察了同角三角函数基本关系式的运用和均值不等式，三角函数有界性的应用，考察了三角变换能力和观察能力