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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    精英家教网在正三棱锥P-ABC中，底面正△ABC的中心为O，D是PA的中点，PO=AB=2，求PB与平面BDC所成角的正弦值．
    分析：由题意，由于图形中已经出现了垂直于底面的高线，所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．
    解答：解：以O为坐标原点，OA为x轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．因△ABC是正三角形，故y轴平行于BC，而PO=AB=2，则
    P（0，0，2），A（
    2
    		3
    3
    ，0，0），
    B（-
    		3
    3
    ，1，0），C（-
    		3
    3
    ，-1，0），
    D是PA的中点，故D（
    		3
    3
    ，0，1）
    BC
    =（0，-2，0），
    BD
    =（
    2
    		3
    3
    ，-1，1）（2分）
    设
    n
    =（x，y，z）是平面BDC的一个法向量，
    n
    •
    BC
    =0且
    n
    •
    BD
    =0，
    即：
    2y=0
    2
    		3
    3
    x-y+z=0
    ，化简得：
    y=0
    z=-
    2
    		3
    3
    x
    （5分）
    取x=
    		3
    ，则y=0，z=-2，
    平面BDC的一个法向量是
    .
    n0
    =（
    		3
    ，0，-2），
    PB
    =（-
    		3
    3
    ，1，-2）
    cos＜
    PB
    ，
    n0
    ＞=
    -1+0+4
    		7
    •
    1
    3
    +1+4
    =
    3
    		21
    28
    （9分）
    由于
    PB
    和
    n0
    所成的角与PB与平面BDC所成角互余，所以PB与平面BDC所成角的正弦值为
    3
    		21
    28
    ．（10分）
    点评：本题主要考查了直线与平面之间所成角，考查空间想象能力，本题考点是立体几何中求线面角，这是立体几何中常考的一个题型，属于基础题．
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    4、在正三棱锥P-ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，有下列四个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE；④平面PDE⊥平面ABC．其中正确的个数为（　　）

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    在正三棱锥P-ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：
    ①AC⊥PB；
    ②AC∥平面PDE；
    ③AB⊥平面PDE．
    其中正确论断的个数为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为
    		3
    3
    a
    		3
    3
    a
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在正三棱锥P-ABC中，AB=
    		2
    ，PA=
    		3
    +1    ，过点A作截面交PB，PC分别于D，E，则截面△ADE的周长的最小值是
    		6
    +
    		2
    		6
    +
    		2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在正三棱锥P-ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，底面边长为2，则此三棱锥的体积是（　　）
    A、
    		3
    2
    B、
    		5
    3
    C、
    		5
    D、
    		15
    3

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