Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄恰好是等比数列{b_n}的前3项．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}对于任意自然数n均有，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意得：a₅²=a₂•a₁₄，
即：（1+4d）²=（1+d）（1+13d）
整理化简得：3d²-6d=0，∵公差d＞0∴d=2
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1
由
∴b_n=b₁q^n-1=3ⁿ
故数列{a_n}与{b_n}的通项公式分别为：
a_n=2n-1，b_n=3ⁿ
（Ⅱ）由=（2n+2）n=2n（n+1）
∴
由；得数列{c_n}的前n项和为
；
=
分析：本题考查等差和等比数列的概念、通项公式的求法、构造数列的应用、“裂项法”求前n项和等综合性知识；
（Ⅰ）根据数列{a_n}与{b_n}部分项的联系，可以建立关于公差d的方程，由此得到d，然后在求出等比数列{b_n}的公比q的基础上不难得到数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）所得数列{a_n}与{b_n}的通项公式，根据可得数列{c_n}的通项公式，然后利用裂项求和方法即可得到数列{c_n}的前n项和．
点评：本题是对等差数列和等比数列的综合性研究，求解环节较多，但解题思路清晰，方向明确，不难解决；有两点需要注意：其一，熟练把握等差和等比数列之间的联系，明确彼此项的关系，按照题目要求逐层解决；其二，“裂项法”求前n项和经常用到，要总结“裂项”的特点和方法．