Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：对任意实数x都有f（x）≥2x；且当0＜x＜2时，总有f(x)≤

1

2

(x+1)2成立．
（1）求f（1）的值；
（2）求f（-1）的取值范围．

Answer 1

（1）∵对任意实数x都有f（x）≥2x，
∴f（1）≥2．
∵当0＜x＜2时，总有f(x)≤

1

2

(x+1)2成立，
∴f（1）≤

1

2

(1+1)2=2，
∴f（1）=2．（3分）
（2）∵f（1）=a+b+c=2，
对任意实数x都有f（x）≥2x，
即ax²+（b-2）x+c≥0恒成立，
∴

a＞0 (b-2)2-4ac≤0

，
∴b-2=-（a+c），
∴[-（a+c）]²-4ac≤0，
即（a-c）²≤0，
∴a=c＞0，b=2-2a．（5分）
∵f(x)≤

1

2

(x+1)2，
∴2f（x）≤（x+1）²，
即2[ax²+（2-2a）x+a]≤（x+1）²，
整理得 （2a-1）x²+（2-4a）x+2a-1≤0，
即（2a-1）（x-1）²≤0，
∵当0＜x＜2时，它恒成立，
∴0＜a≤

1

2

．
∴f（-1）=a-b+c=4a-2的取值范围是（-2，0]．（10分）