Question

6．数列{a_n}满足下列条件，求{a_n}的通项公式：
（1）a₁=1，a_n+1=a_n+2n+1；
（2）a₁=1，a_n=a_n-1+3^n-1（n≥2）；
（3）S_n=3ⁿ-n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1=a_n+2n+1可知a_n+1-a_n=2n+1，累加计算即得结论；
（2）通过a_n=a_n-1+3^n-1（n≥2）可知a_n-a_n-1=3^n-1（n≥2），并项相加即得结论；
（3）通过S_n=3ⁿ-n与S_n+1=3ⁿ⁺¹-（n+1）作差、计算即得结论．

解答 解：（1）∵a_n+1=a_n+2n+1，
∴a_n+1-a_n=2n+1，
∴a_n-a_n-1=2（n-1）+1，
a_n-1-a_n-2=2（n-2）+1，
…
a₂-a₁=2•1+1，
叠加得：a_n-a₁=2[1+2+…+（n-1）]+（n-1）
=2•$\frac{n（n-1）}{2}$+（n-1）
=n²-1，
又∵a₁=1，
∴a_n=n²；
（2）∵a_n=a_n-1+3^n-1（n≥2），
∴a_n-a_n-1=3^n-1（n≥2），
a_n-1-a_n-2=3^n-2，
…
a₂-a₁=3¹，
累加得：a_n-a₁=3¹+3²+…+3^n-2+3^n-1
=$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$
=$\frac{1}{2}$•3ⁿ-$\frac{3}{2}$，
又∵a₁=1，
∴a_n=$\frac{1}{2}$•3ⁿ-$\frac{1}{2}$；
（3）∵S_n=3ⁿ-n，
∴S_n+1=3ⁿ⁺¹-（n+1），
两式相减得：a_n+1=2•3ⁿ-1，
又∵a₁=3-1=2不满足上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{2•{3}^{n-1}-1，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．