Question

已知曲线C：x²+y²-4ax+2ay-20+20a=0．
（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过一定点；
（2）当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；
（3）若曲线C与x轴相切，求a的值．

Answer 1

（1）证明：曲线C的方程可变形为（x²+y²-20）+（-4x+2y+20）a=0．
由，解得
∴点（4，-2）满足C的方程，故曲线C过定点（4，-2）．
（2）证明：原方程配方得（x-2a）²+（y+a）²=5（a-2）²，
∵a≠2，∴5（a-2）²＞0
∴C的方程表示圆心是（2a，-a），半径是|a-2|的圆
设圆心坐标为（x，y），则有，消去a可得y=-x，故圆心必在直线y=-x上．
（3）解：由题意得5|a-2|=|a|，解得a=．
分析：（1）分离参数a，可得（x²+y²-20）+（-4x+2y+20）a=0，则由，可证得结论；
（2）圆的方程化为标准方程，确定圆心坐标，即可得结论；
（3）曲线C与x轴相切，可得5|a-2|=|a|，从而可求a的值．
点评：本题考查恒过交点的圆系，考查直线与圆相切，解题的关键是化圆为标准方程，属于中档题．