Question

若数列{a_n}的各项均为正数，?n∈N^*，a_n+1²=a_na_n+2+t，t为常数，且2a₃=a₂+a₄．
（1）求

a1+a3

a2

的值；
（2）证明：数列{a_n}为等差数列；
（3）若a₁=t=1，对任意给定的k∈N^*，是否存在p，r∈N^*（k＜p＜r）使

1

ak

，

1

ap

，

1

ar

成等差数列？若存在，用k分别表示一组p和r；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由题意，分别令n=1，2得到a22=a₁a₃+t①，令n=2，a32=a₂a₄+t②利用做差法，即可求出

a1+a3

a2

的值；
（2）

a

2 n+1

=anan+2+t③，

a

2 n+2

=an+1an+3+t④，得到利用做差法，得到数列{

an+an+2

an+1

}为常数数列，继而得到数列{a_n}为等差数列；
（3）由条件求出数列{a_n}的通项公式，由此推导出当k=1时，不存在p，r满足题设条件；当k≥2时，存在令p=2k-1得r=kp=k（2k-1），满足题设条件．

解答： 解：（1）由条件，?n∈N^*，a_n+1²=a_na_n+2+t，t为常数，
令n=1，得a22=a₁a₃+t①，令n=2，a32=a₂a₄+t②
②-①，得  

a

2 3

-

a

2 2

=a2a4-a1a3，a₃（a₃+a₁）=a₂（a₂+a₄），
∴

a1+a3

a2

=

a2+a4

a3

=2．
（2）

a

2 n+1

=anan+2+t③，

a

2 n+2

=an+1an+3+t④，
④-③，得 

an+1+an+3

an+2

=

an+an+2

an+1

，
∴数列{

an+an+2

an+1

}为常数数列，
∴

an+an+2

an+1

=

a1+a3

a2

=2．
∴a_n+a_n+2=2a_n+1，
∴数列{a_n}为等差数列．
（3）由（2）知，数列{a_n}为等差数列，设公差为d，
则由条件a_n+1²=a_na_n+2+1，得

a

2 n+1

-(an+1-d)(an+1+d)=a1
∴d²=a₁=1，又数列{a_n}的各项为正数，
∴d＞0，
∴d=1，
∴a_n=n．
当k=1时，若存在p，r使

1

ak

，

1

ap

，

1

ar

成等差数列，则

1

r

=

2

p

-1=

2-p

p

≤0．
与

1

r

＞0矛盾．因此，当k=1时，不存在．
当k≥2时，则

1

k

+

1

r

=

2

p

，所以r=

kp

2k-p

．
令p=2k-1得r=kp=k（2k-1），满足k＜p＜r．
综上所述，当k=1时，不存在p，r；
当k≥2时，存在一组p=2k-1，r=k（2k-1）满足题意．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查使得数列为等差数列的正整数是否存在的判断，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．