Question

4位学生与2位教师并坐合影留念．(1)教师必须坐在中间；(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起；(3)教师不能坐在两端，且不能相邻．各有多少种不同的坐法？

Answer 1

（1）48    （2）144      (3)144

解析:

(1) 解法１  固定法：从元素着眼，把受限制的元素先固定下来．

ⅰ) 教师先坐中间，有种方法；  ⅱ) 学生再坐其余位置，有种方法．

 ∴  共有 ·＝48种坐法．

解法２ 排斥法：从位置着眼，把受限制的元素予先排斥掉．

ⅰ) 学生坐中间以外的位置：；       ⅱ) 教师坐中间位置：．

解法３  插空法：从元素着眼，让不受限制的元素先排好（无条件），再让受限制元素按题意插入到允许的位置上．

ⅰ) 学生并坐照相有种坐法；   ⅱ) 教师插入中间：．

解法４  淘汰法（间接解法）：先求无条件限制的排法总数，再求不满足限制条件的排法数，然后作差．即“A＝全体-非A”.

ⅰ) 6人并坐合影有种坐法；   ⅱ) 两位教师都不坐中间：

 （先固定法）·；

ⅲ) 两位教师中仅一人坐中间； (甲坐中间) · (再固定乙不坐中间) · · 2（甲、乙互换）；

ⅳ) 作差：-（+2）

解法５  等机率法：如果每一个元素被排入，被选入的机会是均等的，就可以利用等机率法来解．将教师看作1人（捆绑法），问题变成5人并坐照相，共有种坐法，而每个人坐中间位置的机会是均等的，应占所有坐法的1/5，即教师1人坐

中间的坐法有即种。

(2) 将教师看作1人，问题变为5人并坐照相．   解法１  从位置着眼，排斥元素??——教师.

先从4位学生中选2人坐两端位置：；其他人再坐余下的3个位置：；教师内部又有种坐法. ∴  共有 ＝144种坐法．

解法2  从元素着眼,固定位置.

先将教师定位：；再排学生： .  ∴  共有 种坐法。

(3) 解  插空法：（先排学生） (教师插空).