Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知M是棱AB的中点，求C₁M与平面BCD₁A₁所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：以D为原点，DAx轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出C₁M与平面BCD₁A₁所成的角．

解答： 解：以D为原点，DAx轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则C₁（0，2，2），M（2，1，0），
B（2，2，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2），

BC

=（-2，0，0），

BD1

=（-2，-2，2），

C1M

=（2，-1，2），
设平面BCD₁A₁的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • BC =-2x=0 n • BD1 =-2x-2y+2z=0

，取y=1，得

n

=（0，1，1），
设C₁M与平面BCD₁A₁所成的角为θ，
sinθ=|cos＜

C1M

，

n

＞|=

| C1M • n |

| C1M |•| n |

=

1

3 2

=

2

6

．
∴C₁M与平面BCD₁A₁所成的角为arcsin

2

6

．

点评：本题考查直线与平面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．