Question

已知直线l：x-y+4=0与圆C：（x-1）²+（y-1）²=2，则C上各点到l的距离的最大值与最小值之差为

 

．

Answer 1

分析：判断直线与圆相离，过圆心C作CD与已知直线垂直，垂足为D，与圆交于A与B两点，则|AD|、|BD|分别为圆上的点与直线距离的最大值与最小值，然后利用点到直线的距离公式求出C到已知直线的距离，加半径减半径即可求出|AD|与|BD|的值，从而可得结论．

解答：解：由题意可知当直线AC与直线x-y+4=0垂直时，垂足为D，且与圆交于A、B两点，此时圆上的点与直线x-y+4=0的最大值为|AD|，
最小值为|DB|，
由圆的方程可得圆心坐标为（1，1），半径r=|AC|=|BC|=

2

，
而圆心C到直线x-y+4=0的距离d=|CD|=

|1-1+4|

2

=2，
则圆上的点与直线x-y+4=0距离的最大值|AD|=|AC|+|CD|=3

2

，
最小值|BD|=|CD|-|CB|=

2

．
所以C上各点到l的距离的最大值与最小值之差为2

2

．
故答案为：2

2

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，以及灵活运用数形结合的数学思想解决实际问题是关键．