Question

已知点P是抛物线x²=4y上一个动点，过点P作圆x²+（y-4）²=1的两条切线，切点分别为M，N，则线段MN长度的最小值是

33

3

．

Answer 1

分析：先确定MN=2ME=

2PM

PO

=

2 PO2-1

PO

=2

1- 1 PO2

，可得PO值最小时，MN取最小值，进而求出PO最小值即可．

解答：解：设圆心为O（0，4），PO与MN交于E，则PO²=PM²+1，MN=2ME=

2PM

PO

=

2 PO2-1

PO

=2

1- 1 PO2

∴当PO值最小时，MN取最小值；设P（x，y），则PO²=x²+（y-4）²=y²-4y+16=（y-2）²+12
当y=2时，PO²有最小值12，
∴线段MN长度的最小值是2

1- 1 12

=

33

3

故答案为：

33

3

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．