Question

已知函数f（x）=|x+1|+|x-2|-m．
（Ⅰ）当m=5时，求f（x）＞0的解集．
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤2的解集非空，求m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）不等式f（x）≤2，即|x+1|+|x-2|≤m+2，利用绝对值三角不等式求得|x+1|+|x-2|≥3，可得m+2≥3，由此求得m的取值范围．

解答： 解 （1）由|x+1|+|x-2|＞5，可得

x≥2 x+1+x-2＞5

 ①，或

-1≤x＜2 x+1+2-x＞5

 ②，或

x＜-1 -x-1-x+2＞5

③．
解①求得 x＞3，解②求得 x∈∅，解③求得x＜-2，
可解得f（x）＞0的解集为（-∞，-2）∪（3，+∞）．
（2）不等式f（x）≤2，即|x+1|+|x-2|≤m+2，
∵x∈R时，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
又f（x）≤2的解集非空，则m+2≥3，∴m≥1，m的取值范围是[1，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．