Question

已知

a

=（sinx，2

3

sinx），

b

=（2cosx，sinx），函数f（x）=

a

•

b

-

3

（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数g（x）=f（x-θ）（-

π

4

＜θ＜

π

4

）的图象关于y轴对称，试求θ的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（1）由数量积和三角函数的运算化简可得f（x）=2sin（2x-

π

3

），由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

解不等式可得；（2）可得g（x）=2sin（2x+2θ-

π

3

），由题意可得当x=0时，|g（x）|=2，可得2θ-

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z），解得θ结合范围可得．

解答： 解：（1）∵

a

=（sinx，2

3

sinx），

b

=（2cosx，sinx），
∴f（x）=

a

•

b

-

3

=2sinxcosx+2

3

sin²x-

3

=sin2x+

3

（1-cos2x）-

3

=2sin（2x-

π

3

），
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）；
（2）∴g（x）=f（x-θ）=2sin（2x+2θ-

π

3

），
由题意可得当x=0时，|g（x）|=2，即2sin（2θ-

π

3

）=±2，
∴2θ-

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z），解得θ=

kπ

2

+

5π

12

（k∈Z）
∵-

π

4

＜θ＜

π

4

，∴θ=-

π

12

点评：本题考查平面向量的数量积和三角函数的性质，属基础题．