Question

已知圆C的圆心在直线l：x-y+1=0上，且过点A（1，1）和B（2，-2）；
（1）求圆C的标准方程；
（2）线段MN的端点M的坐标是（10，8），端点N是圆C上的动点，且

MN

=-2

PN

，求P点的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）根据圆心在直线x-y+1=0上，设出圆心坐标，设出圆的半径，得到圆的标准方程，然后把点A，B的坐标代入圆的方程，求解方程组即可得到待求系数，则方程可求；
（2）利用M的坐标是（10，8），

MN

=-2

PN

，确定P，N坐标之间的关系，即可求P点的轨迹方程．

解答： 解：（1）因为圆心C在直线x-y+1=0上，所以设圆C的圆心C（a，a+1），半径为r（r＞0），
所以圆的方程为（x-a）²+（y-a-1）²=r²．
因为圆C经过点A（1，1），B（2，-2），
所以（1-a）²+（-a）²=r²，（2-a）²+（-3-a）²=r²，
解得：a=-3，r²=25．
所以，圆C的方程为（x+3）²+（y+2）²=25；
（2）设P（x，y），N（a，b），则
因为M的坐标是（10，8），

MN

=-2

PN

，
所以（a-10，b-8）=-2（a-x，b-y），
所以a=

10+2x

3

，b=

8+2y

3

，
因为端点N是圆C上的动点，
所以（

10+2x

3

+3）²+（

8+2y

3

+2）²=25，即(x+

19

4

)2+(y+

7

2

)2=

225

4

．

点评：本题考查用待定系数法求圆的方程，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．