Question

如图所示，已知边长为2的正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，且PA=2，E是PC的中点．
（1）证明：平面BDE⊥平面PAC；
（2）求：BE与平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件推导出AC⊥BD，BD⊥PA，由经能证明平面BDE⊥平面PAC．
（2）连结OE，由已知条件推导出∠EBO是BE与平面ABCD所成角，由此能求出BE与平面ABCD所成角的余弦值．

解答： （1）证明：∵正方形ABCD，∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA，
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC．
（2）解：连结OE，∵ABCD是边长为2的正方形，
∴O是AC中点，又E是PC的中点，
∴OE∥PA，且OE=

1

2

PA=1，
∵PA⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，
∴∠EBO是BE与平面ABCD所成角，
∵BO=

1

2

4+4

=

2

，∴BE=

2+1

=

3

，
∴cos∠EBO=

2

3

=

6

3

．
∴BE与平面ABCD所成角的余弦值为

6

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成有的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．