Question

设f（x）=

x2+3

x-a

（a≠0）．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜x；
（Ⅱ）当x＞a时，最小值是6，求a的值．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用,不等式

分析：（Ⅰ）化简不等式f（x）＜x，讨论a的值，利用同号为正，异号为负的法则，求出不等式的解集；
（Ⅱ）利用换元法，令x-a=t（t＞0），求出g（t）的最小值，令其等于6，从而求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）原不等式等价于

x2+3

x-a

-

x(x-a)

x-a

＜0，…（2分）
∴

ax+3

x-a

＜0，
即（ax+3）（x-a）＜0；…（3分）
∴当a＞0时，原不等式的解集为(-

3

a

，a)，…（5分）
当a＜0时，原不等式的解集为(-∞，a)∪(-

3

a

，+∞)；…（7分）
（Ⅱ）令x-a=t（t＞0），则x=t+a，
∴f(x)=g(t)=

t2+2at+a2+3

t

…（9分）
=t+

a2+3

t

+2a
≥2

a2+3

+2a，
当且仅当t=

a2+3

时取等号；…（12分）
∴2

a2+3

+2a=6，
解得a=1．…（13分）

点评：本题考查了分式不等式的解法与应用问题，也考查了换元法、求函数的最值问题以及基本不等式的应用问题，是综合题．