Question

定义在R上的函数f（x）同时满足f（-x）=f（x），f（x）=f（4-x），且当2≤x≤6时，f（x）=（

1

2

）^|x-m|+n．
（Ⅰ）若f（4）=31，求m，n的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，比较f（log₃m）与f（log₃n）的大小．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的周期性,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用函数的奇偶性和周期性进行求值即可．
（Ⅱ）表示出f（log₃m），f（log₃n）再利用函数的单调性比较．

解答： 解（Ⅰ）∵f（-x）=f（x），f（x）=f（4-x），
∴f（x）=f（4-x）=f（x-4），
即f（4+x）=f（x），
即4是函数f（x）的一个周期；
∴f（2）=f（6），
即（

1

2

）^|2-m|+n=（

1

2

）^|6-m|+n．
∴|2-m|=|6-m|，解得m=4，
又f（4）=31，
∴f（4）=（

1

2

）^|4-4|+n=1+n=31，
解得n=30．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=（

1

2

）^|x-4|+30．x∈[2，6]．
因为1＜log₃4＜2，所以5＜log₃4+4＜6．
f（log₃m）=f（log₃4）=f（log₃4+4）=（

1

2

）^|log34|+30．
又因为3＜log₃30＜4，
f（log₃n）=f（log₃30）=）=（

1

2

）^|log₃30-4|+30=（

1

2

）log3

81

30

+30，
∵log3

81

30

＜log₃4，
由函数y=(

1

2

)x为减函数，
∴f（log₃m）＜f（log₃n）．

点评：本题主要考查函数的周期性，单调性以及用方程思想参数的值．