Question

襄荆高速公路起自襄阳市贾家洲，止于荆州市龙会桥，全长约188公里．该高速公路连接湖北省中部的襄阳、荆门、荆州三市，是湖北省大三角经济主骨架中的干线公路之一．假设某汽车从贾家洲进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶到龙会桥，已知该汽车每小时的运输成本由固定部分和可变部分组成，固定部分为200元，可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比（比例系数记为k）．当汽车以最快速度行驶时，每小时的运输成本为488元．
（1）试求出k的值并把全程运输成本f（v）（元）表示为速度v（千米/时）的函数；
（2）汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用待定系数法法求出运输成本，
（2）利用基本不等式可求出所求．

解答： 解：（1）每小时的可变成本为：kv²（60≤v≤120），每小时固定成本为200．每小时的运输成本为：kv²+200．
因为速度最大时每小时的运输成本为488，所以k120²+200=488，所以k=0.02，
运输时间为：t=

s

v

=

188

v

，
所以全程的运输成本为：f(v)=(0.02v2+200)•

188

v

．
（2）∵f(v)=(0.02v2+200)•

188

v

=188（

200

v

+0.02v）≥188×2

200 v ×0.02v

=752，
当且仅当

200

v

=0.02v，即v=100时，“=”成立，
即汽车以100 km/h的速度行驶，全程运输成本最小为752元．

点评：本题主要考查函数的应用问题，根据题意列出函数关系，掌握基本不等式在最值问题中的应用注意等号成立的条件是解决本题的关键．