练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    证明：形如8n+7的数不可能是三个整数的平方和．
    考点：反证法与放缩法
    专题：综合题,反证法
    分析：利用反证法证明，分类讨论，即可得出结论．
    解答： 证明：假设存在任意正整数n，使8n+7是三个正整数的平方和即设三个整数分别为x，y，z，
    则有：x2+y2+z2=8n+7
    x2+y2+z2=2﹙4n+3）+1①
    x，y，z中，必有一个奇数两个偶数，令x=2a+1，y=2b，z=2c
    则4a2+4a+1+4b2+4c2=2﹙4n+3﹚+14﹙a2+a+b2+c2﹚=2﹙4n+3﹚2﹙a2+a+b2+c2﹚=4n+3
    即：一个奇数等于另一个偶数，矛盾②
    x，y，z都是奇数，令x=2a+1，y=2b+1，z=2c+1，
    则4﹙a2+b2+c2+a+b+c+
    1
    2
    ﹚+1=2﹙4n+3﹚+1
    4﹙a2+b2+c2+a+b+c+
    1
    2
    ﹚=2﹙4n+3﹚，
    所以2﹙a2+b2+c2+a+b+c+
    1
    2
    ﹚=4n+3，
    所以2﹙a2+b2+c2+a+b+c﹚=4n+2
    所以a2+b2+c2+a+b+c=2n+1，
    a，b，c都是奇数，偶数个奇数的和是偶数，2n+1是奇数即：一个奇数等于另一个偶数，矛盾
    综上所述：8n+7不可能是三个整数的平方和
    点评：本题考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，有难度．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    口袋中有红、白、黄、黑共四个小球，其质量相等、大小相同．从中有放回的先后各取一个球．
    （1）写出所有不同的基本事件；
    （2）求取出两球中含有白球的概率．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义在R上的函数f（x）同时满足f（-x）=f（x），f（x）=f（4-x），且当2≤x≤6时，f（x）=（
    1
    2
    ）|x-m|+n．
    （Ⅰ）若f（4）=31，求m，n的值；
    （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，比较f（log3m）与f（log3n）的大小．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）经过点M（1，
    3
    2
    ），且离心率为
    1
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）过点N（m，0）作圆O：x2+y2=
    16
    9
    的切线l交椭圆C于A、B两点，求△ABO面积的最大值（O为坐标原点）．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图所示，已知边长为2的正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，且PA=2，E是PC的中点．
    （1）证明：平面BDE⊥平面PAC；
    （2）求：BE与平面ABCD所成角的余弦值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知A={x|x2-2x-3=0}，B={x∈N|1≤x≤4}
    （Ⅰ）求A∪B；
    （Ⅱ）若记符号A-B={x|x∈A且x∉B}，在图中把表示“集合A-B”的部分用阴影涂黑；并求A-B．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知：二次函数f（x）的两个零点分别为x=1和x=2，且f（x）在（0，f（0）处的切线与直线3x+y=0平行；
    （Ⅰ）求f（x）的解析式；
    （Ⅱ）若α，β是方程f（x）=-ax+1的两个根，求α2+β2的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知三角形的一边是另一边的两倍，求证：它的最小边在它的周长的
    1
    6
    与
    1
    4
    之间．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，求三角形的面积．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案