Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为π．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）已知△ABC中角 A、B、C所对的边分别是a、b、c，且f（A+

π

6

）=

6

5

，c=2a，求sinC的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）先根据函数对称轴之间的距离，即可得到函数的周期，利用函数的周期性和奇偶性即可求出求函数y=f（x）的解析式；
（2）根据函数的解析式，利用三角函数边角关系即可得到结论．

解答： 解：（1）∵函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为π，
∴函数f（x）周期为2π．∴ω=1．
∵f（x）=2sin（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，
∴当x=0时f（0）=2sinϕ=2，∴ϕ=

π

2

．
即f(x)=2sin(x+

π

2

)=2cosx．
（2）f(A+

π

6

)=2cos(A+

π

6

)=

6

5

，
∴cos(A+

π

6

)=

3

5

，
又由于

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

，
∴sin(A+

π

6

)=

4

5

，
∴sinA=sin[(A+

π

6

)-

π

6

]=

3

2

sin(A+

π

6

)-

1

2

cos(A+

π

6

)=

4 3 -3

10

，
∴sinC=

csinA

a

=

4 3 -3

5

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据函数的对称性和奇偶性求出函数的解析式是解决本题的关键．