Question

已知命题p：（x+2）（x-6）≤0，q：2-m≤x≤2+m．
（Ⅰ）若m=5，“p或q”为真命题，“?p”为真命题，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：对于p：由（x+2）（x-6）≤0，解得-2≤x≤6，
（Ⅰ）当m=5时，q：-3≤x≤7．由“p或q”为真命题，“?p”为真命题，可得p假q真，解出即可．
（Ⅱ）设A=[-2，6]，B=[2-m，2+m]，由于q是p的充分不必要条件，可得B?A．分类讨论：当B=∅时，当B≠∅时，即可得出．

解答： 解：对于p：由（x+2）（x-6）≤0，解得-2≤x≤6，
（Ⅰ）当m=5时，q：-3≤x≤7．
∵“p或q”为真命题，“?p”为真命题，
∴p假q真，由

x＜-2或x＞6 -3≤x≤7

，得-3≤x＜-2或6＜x≤7．
∴实数x的取值范围为[-3，-2）∪（6，7]． 
（Ⅱ）设A=[-2，6]，B=[2-m，2+m]，
∵q是p的充分不必要条件，
∴B?A．
当B=∅时，2-m＞2+m，解得m＜0，
当B≠∅时，
∴

2-m≤2+m 2-m≤-2 2+m≥6

，得m≥4，
∴实数m的取值范围为（-∞，0）∪[4，+∞）．

点评：本题考查了复合命题的真假判断方法、充要条件、集合之间的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．