Question

已知双曲线3x²-y²=3，直线l过其右焦点F₂，与双曲线交于A，B两点且倾斜角为45°，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求出线段AB的长．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：直线l的方程为y=x-2与双曲线3x²-y²=3联立，利用韦达定理及弦长公式，即可得出结论．

解答： 解：双曲线化为标准方程为x2-

y2

3

=1，则a=1，b=

3

，c=2．…（2分）
直线l的方程为y=x-2，…（4分）
由

y=x+2 3x2-y2=3

消去y得：2x²+4x-7=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由x1x2=-

7

2

＜0，得A，B两点分别位于双曲线的左右两支上．…（6分）
∵x1+x2=-2，x1x2=-

7

2

，…（8分）
∴|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

(-2)2-4(- 7 2 )

=6．…（12分）

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．