Question

求最大的自然数x，使得对每一个自然数y，x能整除7^y+12y-1．

Answer 1

考点：整除的基本性质

专题：算法和程序框图

分析：利用二项式定理和整除的性质即可得出．

解答： 解：当y=1时，7+12-1=18能够被18整除．
当n≥2时，
∵7^y+12y-1=（6+1）^y+12y-1=6y+

C

1 y

6y-1+…+

C

y-2 y

62+

C

y-1 y

•6+1+12y-1
=6y+

C

1 y

6y-1+…+

C

y-2 y

62+18y
=18（6^y-2×2+y×6^y-3+…+y）．
7^y+12y-1也能够被18整除．
综上可得：最大的自然数x为18，使得对每一个自然数y，x能整除7^y+12y-1．

点评：本题考查了利用二项式定理解决整除问题，属于基础题．