Question

已知函数f（x）=x+

k

x

（k＞0），g（x）=x⁴+ax³+bx²+ax+1（a，b∈R）
（1）若|f（x）|的最小值为2，求k值；
（2）设函数y=g（x）有零点，求a²+b²的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据基本不等式的性质，根据|f（x）|的最小值为2，建立方程关系即可求k值；
（2）根据函数y=g（x）有零点，将方程进行还原，根据基本不等式的性质，进行转化，利用消元法即可求a²+b²的最小值．

解答： 解：（1）∵k＞0，∴|f（x）|=|x+

k

x

|=|x|+|

k

x

|≥2

|x|•| k x |

=2

|k|

=2

k

，
若|f（x）|的最小值为2，则2

k

=2，解得k=1；
（2）设函数y=g（x）有零点，则等价为x⁴+ax³+bx²+ax+1=0有实根，
当x=0时，方程无解，
令t=x+

1

x

，则|t|≥2，同时t²-2=x²+

1

x2

，
方程两边同时除以x²，得x²+

1

x2

+a（x+

1

x

）+b=0，
即t²+at+b-2=0，此时方程的根满足|t|≥2，
令m（t）=t²+at+b-2，
则满足判别式△=a²-4（b-2）≥0，
若根在（-2，2），则满足m（-2）=2-2a+b＞0，m（2）=2+2a+b＞0，
即-1-

b

2

＜a＜1+

b

2

，也可以表示为|a|＜|1+

b

2

|，
故m（t）=t²+at+b-2，有|t|≥2根的条件为

a2≥4(b-2) |a|≥|1+ b 2 |

，
即a²≥1+b+

b2

4

．
故a²+b²≥1+b+

5

4

b2=

5

4

(b+

2

5

)2+

4

5

≥

4

5

，
则当b=-

2

5

，a=

4

5

时，a²+b²的最小值为

4

5

．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，以及利用基本不等式求函数的最值，利用换元法是解决本题的关键，综合性强，运算量大，有一定的难度，