Question

已知函数f（x）=x²-2x+k，g（x）=-2x²-2kx-5，
（1）若f（x）＞g（x）在[0，2]上恒成立，求k的范围；
（2）是否存在实数k，当a+b≤2时，使函数f（x）在定义域[a，b]上的值域恰为[a，b]，若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出f（x）-g（x）=3x²-2x+2kx+k+5＞0，即k＞-

3x2-2x+5

2x+1

，根据对构函数在所给的区间上的值域，得到当式子恒成立时，k要大于函数式的最大值．
（2）假设存在实数k，当a+b≤2时，使函数f（x）在定义域[a，b]上的值域恰为[a，b]，根据二次函数的单调性，建立方程关系即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）-g（x）=x²-2x+k-（-2x²-2kx-5）=3x²-2x+2kx+k+5＞0，
∴（1+2x）k＞-3x²+2x-5
∵f（x）＞g（x）在[0，2]上恒成立，
∴1+2x＞0
∴k＞-

3x2-2x+5

2x+1

=-[

3

4

（2x+1）+

27

4

×

1

2x+1

-

5

2

]≥-[2

3(2x+1) 4 • 27 4(2x+1)

-

5

2

]=-2，当且仅当x=1取等号．
∴k＞-2
（2）①若a＜b≤1，在[a，b]上单调递减，
则

b=k-2a+a2 (1) a=k-2b+b2 (2)

，（1）-（2）得a+b=1，即b=1-a，
∴

1-a=k-2a+a2 (3) 1-b=k-2b+b2 (4)

，即

k-1-a+a2=0 (5) k-1-b+b2=0 (6)

，
∴方程k-1-x-x²=0在x≤1上有两个不同的解，此时k∈[1，

5

4

）
②若a≤1≤b且1-a≥b-1，a+b≤2
在[a，b]上不单调时，
a=f（x）_min=f（1）=k-1，b=k-2a+a²，b≤2-a
b=k-2a+a²≤a+1-2a+a²≤2-a，
∴a∈[-1，0]，
∴k∈[0，1]综上得：k∈[1，

5

4

）．

点评：本题考查函数的恒成立问题，解题的关键是对于所给的函数式的分离参数，写出要求的参数，再利用函数的最值解决．本题考查函数与方程的综合运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力．