Question

设函数y=f（x）定义域为（-∞，+∞），满足f（x+1）=2f（x-1），当x∈[0，2）时，f（x）=

4-x2-3x，x∈[0，1) logx，x∈[1，2)

，若x∈[-4，-2）时，f（x）≤

m

4

+

3

4m

恒成立，则实数m的取值范围（　　）

• A、（-∞，0]∪[1，3）
• B、（0，1]∪[3，+∞）
• C、（0，1）∪[3，+∞）
• D、（0，1]∪（3，+∞）

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题

分析：求出当x∈[0，2）时，f（x）值域是[0，4]，利用f（x+1）=2f（x-1），得出f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

4

f（x+4），进而x∈[-4，-2）时，f（x）∈[0，1]．f（x）≤

m

4

+

3

4m

恒成立，只需1≤

m

4

+

3

4m

，解此不等式求出m的取值范围．

解答： 解：当x∈[0，1）时，f（x）∈（0，4]，当x∈[1，2）时，f（x）∈（0，ln2），
所以当x∈[0，2）时，f（x）值域是[0，4]，
在f（x+1）=2f（x-1）中，令x-1=t，则x+1=t+2，
所以f（t）=

1

2

f（t+2）=

1

4

f（t+4）
若x∈[-4，-2）时，则x+4∈[2，0）时，
于是f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

4

f（x+4）∈[0，1]．
若f（x）≤

m

4

+

3

4m

恒成立，只需1≤

m

4

+

3

4m

，
所以m＞0，且m²-4m+3≥0，
解得m∈（0，1]∪[3，+∞）．
故选B

点评：本题考查分段函数值域求解，不等式恒成立，考查转化，计算逻辑推理能力．本题两个要点：一是求出x∈[-4，-2）时，f（x）∈[0，1]．二是解f（x）_max≤

m

4

+

3

4m

．