Question

如图，点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面对角线BC₁上运动，则下列四个结论：
①三棱锥A-D₁PC的体积不变；
②A₁P∥平面ACD₁；
③DP⊥BC₁；
④平面PDB₁⊥平面ACD₁．
其中正确的结论的个数是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．

解答： 解：对于①，由题意知AD₁∥BC₁，从而BC₁∥平面AD₁C，
故BC₁上任意一点到平面AD₁C的距离均相等，
所以以P为顶点，平面AD₁C为底面，则三棱锥A-D₁PC的体积不变，故①正确；
对于②，连接A₁B，A₁C₁，A₁C₁∥AD₁且相等，由于①知：AD₁∥BC₁，
所以BA₁C₁∥面ACD₁，从而由线面平行的定义可得，故②正确；
对于③，由于DC⊥平面BCB₁C₁，所以DC⊥BC₁，
若DP⊥BC₁，则BC₁⊥平面DCP，
BC₁⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故③错误；
对于④，连接DB₁，由DB₁⊥AC且DB₁⊥AD₁，
可得DB₁⊥面ACD₁，从而由面面垂直的判定知，故④正确．
故选：C．

点评：本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．