Question

如图：长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，AD=AA₁=2，E为AB上一点，且AE=2EB，F为CC₁的中点，P为C₁D₁上动点，当EF⊥CP时，PC₁=

 

．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC₁=2．

解答： 解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，
AD=AA₁=2，E为AB上一点，且AE=2EB，
F为CC₁的中点，P为C₁D₁上动点，
∴E（2，0，0），F（3，2，1），C（3，2，0），
设P（a，2，2），
∴

EF

=（1，2，1），

CP

=(a-3，0，2)，
∵EF⊥CP，
∴

EF

•

CP

=a-3+2=0，解得a=1，
∴P（1，2，2），∵C₁（3，2，2），
∴

PC1

=（2，0，0），∴|

PC1

|=2，
∴PC₁=2．
故答案为：2．

点评：本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要注意向量法的合理运用．