Question

把边长为1的正方形ABCD沿对角线折起，使其成为四面体ABCD，则下列命题：
①三棱锥A-BCD体积的最大值为

2

12

；
②当三棱锥体积最大时直线BD和平面ABC所成的角的大小为45°；
③B、D两点间的距离的取值范围是（0，

2

）；
④当二面角D-AC-B的平面角为90°时，异面直线BC与AD所成角为45°；
其中正确的是

 

．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：当角D-AC-B的平面角为90°时，三棱锥A-BCD的体积最大，由此能判断①的正误码；当三棱锥体积最大时，∠DBO是直线BD和平面ABC所成的角，由此能判断②的正误；B、D两点间的距离的取值范围是[0，

2

]；当二面角D-AC-B的平面角为90°时，异面直线BC与AD所成角为90°．

解答： 解：当角D-AC-B的平面角为90°时，
三棱锥A-BCD的体积最大，
最大值为V_max=

1

3

×

2

2

×(

1

2

×1×1)=

2

12

，故①正确；
当三棱锥体积最大时，
DO⊥面ABC，DO=BO=

2

2

，
∠DBO是直线BD和平面ABC所成的角，
∴直线BD和平面ABC所成的角的大小为45°，故②正确；
B、D两点间的距离的取值范围是[0，

2

]，故③错误；
当二面角D-AC-B的平面角为90°时，异面直线BC与AD所成角为90°，故④错误．
故答案为：①②．

点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．