Question

关于正四面体ABCD，有以下命题：
①正三棱锥都是正四面体；
②若E，F分别为△ABC，△BCD的中心，则EF∥AD；
③AB⊥CD；
④将等差数列的任意连续四项分别写在四面体的四个面上，则任一面上的数字都不可能等于另三个面上的数字之和；
⑤从正四面体的六条棱中任选两条，则它们互相垂直的概率为

1

5

．
其中正确的命题有

 

（填上所有正确命题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：①正三棱锥的侧棱与底面棱长不一定相等，因此不一定是正四面体；
②若E，F分别为△ABC，△BCD的中心，如图1，取BC的中点，连接DM，AM，利用中心和重心的性质可得：

AE

EM

=

DF

FM

=

2

1

，即可得出EF∥AD；
③如图2，设O点为底面ABC的中心，则DO⊥底面ABC，可得DO⊥AB，延长CO交AB于点N，连接DN，则CN⊥AB，即可判断出；
④将等差数列{a_n}的任意连续四项分别写在四面体的四个面上，可得a₁+a₄=a₂+a₃，可得a₁+a₃+a₄=a₂+2a₃，若任一面上的数字都不可能等于另三个面上的数字之和，则2a₃=0，同理可得a_i=0（i=1，2，3，4），因此可知：这个等差数列除非是每一项都为0，否则不成立；
⑤从正四面体的六条棱中任选两条，利用③的结论可得，则它们互相垂直的概率p=

3

C 2 6

．

解答： 解：①正三棱锥的侧棱与底面棱长不一定相等，因此不一定是正四面体，不正确；
②若E，F分别为△ABC，△BCD的中心，如图1，取BC的中点，连接DM，AM，则

AE

EM

=

DF

FM

=

2

1

，因此EF∥AD，正确；
③如图2，设O点为底面ABC的中心，则DO⊥底面ABC，∴DO⊥AB，延长CO交AB于点N，连接DN，则CN⊥AB，∴AB⊥平面CDN，
∴AB⊥CD；
④将等差数列{a_n}的任意连续四项分别写在四面体的四个面上，可得a₁+a₄=a₂+a₃，可得a₁+a₃+a₄=a₂+2a₃，若任一面上的数字都不可能等于另三个面上的数字之和，则2a₃=0，同理可得a_i=0（i=1，2，3，4），因此可知：这个等差数列除非是每一项都为0，否则不成立；
⑤从正四面体的六条棱中任选两条，利用③的结论可得：则它们互相垂直的概率p=

3

C 2 6

=

1

5

，正确．
综上可知：只有②③⑤正确．
故答案为：②③⑤．

点评：本题综合考查了正四面体的性质、等差数列的性质、古典概率，考查了推理能力与计算能力，属于难题．